[理论/有界计算] 独立热正规坐标与 Harris 正控制：用质量 κ 校准 M''/(2M')

[LightChainr]

动机

#737 已经给出完整有限 root-source Hessian 与 annealed/quenched root 恒等式；Round-4 又发现一个需要独立校准的现象：

c2_M(L) := M''_L(p_c)/(2 M'_L(p_c))

在 L=3,4 的 exact torus 上约为 0.2911、0.2942，变化很小。一个自然解释是：M'' ~ L^(3/4) 的 leading 部分主要来自裸 occupation coordinate p 相对于真正 thermal scaling field 的二阶非线性，而不是新的 even primary。

这个解释不能用同一 M 数据自证。需要一个独立 thermal coordinate。

同时，#737 的 quenched-root 公式提供了一个非常干净的 Harris-criterion 正控制，可以把 source Hessian 与 near-critical scaling 接起来，而不改 original-U 合同。

Part A — mass-defined thermal coordinate

对 subcritical square-site 连接质量 / inverse correlation length kappa(p)，假设标准 near-critical form

kappa(p) = C (p_c-p)^(4/3) [1 + c1 (p_c-p) + ...].

定义物理 thermal coordinate（只到整体线性归一化）

t_mass(p) = - kappa(p)^(3/4),   p<p_c.

则其坐标曲率可在不知道振幅 C 的情况下写成

c2_mass(p)
 = t_mass''/(2 t_mass')
 = 1/2 [ kappa''/kappa' - (1/4) kappa'/kappa ].

单独两项在 p->p_c 时发散，但 leading 4/3 singularity 精确抵消；若上式趋有限极限，就是 a2/a1 的独立估计。

目标 A1

判断

lim_{p->p_c^-} c2_mass(p)

是否存在，以及是否与 torus matching-function 的

lim_{L->inf} M''/(2M')

在同一个 microscopic p coordinate 下相容。

数据/方法优先级

1. 先检索已有 square-site correlation-length / connection-mass 高精度数据或 series；
2. 若仓库 [路线2026-09 / 理论] 圆柱尾质量的定量局部性：γ_w−κ 是否小于 1/w #760 / first-exit mass 工具有足够靠近 p_c 且 width-locality 可认证的数据，复用，不新建平行 mass engine；
3. 若 gamma_w-kappa 误差在近临界范围尚不可控，明确写 BLOCKED_ON_MASS_LOCALITY，不要拿同一 nu_w 反拟合 kappa。

必须报告导数估计对 interpolation / fit ansatz 的敏感性。两个大项相消，数值病态是本题核心风险之一。

Part B — exact matching-pair parity

利用有限恒等式

M_G(p) = -M_Ghat(1-p)

记录

M_G' = +M_Ghat',
M_G'' = -M_Ghat'',
M_G''' = +M_Ghat''', ...

因此

c2_G(p) = - c2_Ghat(1-p)

exactly at every finite size。解释这与 pair-symmetric thermal coordinate

t_G(p) = - t_Ghat(1-p)

的相容性。这个 parity test 是免费 exact control，不需要新采样。

Part C — Harris 正控制（由 #737 exact formulas 推出）

#737 对 independent additive-p quenched offsets p_i=p+sigma xi_i 已有

E q = p_* + sigma^2 M''/(2 N M') + O(sigma^4),
Var q = sigma^2/N + O(sigma^4)

（centrally symmetric iid noise）。取 square torus N=L^2，并使用 clean thermal window L^-3/4：

Std[ L^(3/4)(q-p_*) ] ~ sigma L^-1/4,
Var[ scaled root ] ~ sigma^2 L^-1/2,
Mean scaled bias ~ sigma^2 c2 L^-5/4.

目标 C1

把这写成一个 exact-finite -> scaling 的 Harris positive control：variance crossover exponent -1/2 正好对应 uncorrelated disorder coupling y_Delta = 2/nu - d = -1/2；标准差 exponent 是 -1/4。

这里不是声称发现新 disorder fixed point，而是检查 source/root machinery 是否与已知 Harris irrelevance 一致。

目标 C2 — centered environment

若每个 realization 先减去自己的 spatial mean，则 #737 已证明 O(sigma) root fluctuation 消失，而 leading mean curvature bias保留。明确比较 centered / uncentered 两个 ensemble；不能把“mean-zero marginals”和“每个样本 mean-zero”混为一谈。

Part D — 长程相关 source（设计，不默认生产）

若 Cov xi(x) xi(0) ~ |x|^-a，则 spatial average 的方差在 a<2 时约 L^-a。因此 thermal-scaled root first-order fluctuation预测

Std ~ L^(3/4-a/2),

relevance boundary a=3/2，与 Weinrib–Halperin extended Harris criterion a nu = 2（nu=4/3）一致。

这里只需给数学 derivation 与 source-Hessian Fourier weighting formula。除非现有 #737 Fourier modes 足够做 tiny control，否则不请求新 correlated-disorder Monte Carlo。

判决

最终给四项：

1. c2_mass exists / unresolved / contradicted;
2. c2_mass vs c2_M compatible / incompatible / not yet comparable;
3. Harris exact-finite scaling control PASS / FAIL;
4. whether a mass-normalized thermal coordinate should replace raw p in subsequent derivative/CFT interpretation.

若 A 被近临界 mass locality 卡住，B/C 仍应完成；不要因为一个数值导数难算而停止整个交付。

不做

• 不用 M''/(2M') 自己定义再“验证” c2；
• 不把 random-source shift 当新 p_c estimate；
• 不把 disorder variance exponent 当 original-U field identity；
• 不新增大 Monte Carlo；
• 不重复 Multi-advance 20260913: spatial-source Hessian, invisible marks, annealed/quenched roots, rank-source zero-free strip, conditional-odds integration, limit-order audit (do not merge) #737 的 4x4 Hessian 枚举。

相关：#737, #760, #768, #739。