为什么这是当前最重要的 control 之一
#773 已把 square-site rank law 写成 canonical coordinates
b = 1/2 log(P0/P2) matching-odd,
c = P1/[2 sqrt(P0P2)] matching-even,
并提出 near-critical two-variable rank-source equation、Fisher L^-1/2、conditional-K cumulant parity ladder和 self-normalized curve c=C(b)。
Square-site 的困难是 primal NN 与 matching NN+NNN 是两个不同 microscopic graphs，因此 finite-size b,c 不具备 exact self-dual parity；raw M'' 还能混入 thermal-coordinate curvature。
Triangular-site 是理想正控制：matching lattice 与原 lattice 相同，pc=1/2，critical/near-critical scaling 与 arm exponents有严格理论。 若 finite torus digital-Alexander identity按预期成立，则 complement 本身给一个全尺寸 exact symmetry，而不是 asymptotic universality 猜想。
Phase A — finite exact theorem，先证明再算
选定一个 honest periodic triangular-lattice site torus convention（明确 vertices/edges/faces；小 L 不得折叠本应不同的局部邻边）。证明或给精确最小例外：
r(omega) + r(omega^c) = 2
with the same triangular connectivity on both colours。
若成立，则立即有
P2_L(p)=P0_L(1-p),
P1_L(p)=P1_L(1-p),
M_L(p)=-M_L(1-p).
因此对每个 honest L：
p_L^* = 1/2 exactly,
b_L(1/2+eps) = -b_L(1/2-eps),
c_L(1/2+eps) = c_L(1/2-eps).
在 logit z=0：
g(z)=log(P2/P0) is exactly odd,
all g_(2m)(0)=0,
(log c)_(2m+1)(0)=0.
这是一套非常强的 pipeline regression；如果 finite code 不满足，先修 geometry/convention，不做 scaling fit。
Phase B — exact small sizes
用两个独立路径至少做到 honest L=3,4，最好 transfer 扩到 L=5..8（按资源）。保存
C[L,j,k] = # configs with rank j and K=k,
并逐 k 验证 binomial sum。
在 p=1/2 报告：
a_L=P0=P2,
c_L=(1-2a_L)/(2a_L),
rank-source zero angle theta_L=acos(-c_L),
conditional K cumulants n=1..6,
Fisher rho_KX,
self-normalized curve curvature d2 log c/db2.
所有 even derivative zero 必须在 exact arithmetic 下为0，不只是浮点小。
Phase C — rigorous near-critical interface
主检索/证明问题：把 Garban–Pete–Schramm triangular-site near-critical scaling limit接到 periodic torus rank events。
需要明确：
- torus/periodic domain 在 quad-crossing framework 中的实现或可引用扩展；
- rank-0/1/2 events 是否为 scaling-limit continuity events；
- thermal lambda convention和 complement symmetry
lambda -> -lambda；
- 从而得到
Pi2(lambda;tau)=Pi0(-lambda;tau),
Pi1(lambda;tau)=Pi1(-lambda;tau),
Z_tau(lambda,s)=Z_tau(-lambda,-s)
作为 triangular-site 的 rigorously grounded control。
若 torus extension 文献没有现成 theorem，写出最小缺失 lemma；不要把 planar GPS 自动宣称成 torus theorem。
Phase D — square vs triangular 的 parameter-free universality test
最优先比较 self-normalized curve
而不是先对齐 p 或 thermal metric。
Triangular finite curves exact even；square/matching pair only asymptotically应靠近同一个 continuum C_*(b;tau)（若 universality正确）。比较：
c(0),
d log c/db |0 (triangular exact 0),
d2 log c/db2 |0,
whole small-|b| curve.
这是真正的跨格点 topological equation-of-state test：所有 thermal reparameterisation 都已被 b 消掉。
第二层再比较需要 metric 的量：
g1/L^(3/4),
rho_KX^2 sqrt(L),
metric-free g3/g1^3,
conditional-density CLT.
为什么它能区分 square-site 的 M'' 解释
triangular self-matching 使 g_2=Delta Var(K)=0 at z=0 exactly。因此：
- 若 square-site
g2~L^(3/4) 主要来自 microscopic thermal-coordinate curvature / matching asymmetry，这是合理；
- 若某解释宣称该 even derivative 是一个 unavoidable universal even primary amplitude，它必须解释为什么 self-matching triangular control identically kills it。
这比只看 square-site 两个 slope 更有判别力。
外部理论优先级
- Smirnov critical triangular site;
- Smirnov–Werner arm exponents;
- Garban–Pete–Schramm pivotal/near-critical scaling;
- torus/compact-surface extensions if present;
- Pinson/Newman–Ziff critical wrapping probabilities as continuum topology anchor。
区分 theorem / extension / universality conjecture。
Stop rules
- 若 finite triangular digital-Alexander identity 在选定 convention 失败，先报告具体 obstruction，不换 convention 偷救；
- 不用 triangular exact symmetry“证明”square L^-4；
- 不从 L<=8 fit 新 exponent；
- 不把 self-normalized curve 等同 CFT field identification；
- 不改 original-U contract。
交付
notes/triangular-selfmatching-rank-control-YYYYMMDD.md
scripts/... exact control / transfer if used
results/.../triangular-rank-control.json
相关：draft #773, #775, #770, #768。
为什么这是当前最重要的 control 之一
#773 已把 square-site rank law 写成 canonical coordinates
并提出 near-critical two-variable rank-source equation、Fisher
L^-1/2、conditional-K cumulant parity ladder和 self-normalized curvec=C(b)。Square-site 的困难是 primal NN 与 matching NN+NNN 是两个不同 microscopic graphs，因此 finite-size
b,c不具备 exact self-dual parity；rawM''还能混入 thermal-coordinate curvature。Triangular-site 是理想正控制：matching lattice 与原 lattice 相同，pc=1/2，critical/near-critical scaling 与 arm exponents有严格理论。 若 finite torus digital-Alexander identity按预期成立，则 complement 本身给一个全尺寸 exact symmetry，而不是 asymptotic universality 猜想。
Phase A — finite exact theorem，先证明再算
选定一个 honest periodic triangular-lattice site torus convention（明确 vertices/edges/faces；小 L 不得折叠本应不同的局部邻边）。证明或给精确最小例外：
with the same triangular connectivity on both colours。
若成立，则立即有
因此对每个 honest L：
在 logit z=0：
这是一套非常强的 pipeline regression；如果 finite code 不满足，先修 geometry/convention，不做 scaling fit。
Phase B — exact small sizes
用两个独立路径至少做到 honest
L=3,4，最好 transfer 扩到L=5..8（按资源）。保存并逐 k 验证 binomial sum。
在 p=1/2 报告：
所有 even derivative zero 必须在 exact arithmetic 下为0，不只是浮点小。
Phase C — rigorous near-critical interface
主检索/证明问题：把 Garban–Pete–Schramm triangular-site near-critical scaling limit接到 periodic torus rank events。
需要明确：
lambda -> -lambda；作为 triangular-site 的 rigorously grounded control。
若 torus extension 文献没有现成 theorem，写出最小缺失 lemma；不要把 planar GPS 自动宣称成 torus theorem。
Phase D — square vs triangular 的 parameter-free universality test
最优先比较 self-normalized curve
而不是先对齐 p 或 thermal metric。
Triangular finite curves exact even；square/matching pair only asymptotically应靠近同一个 continuum
C_*(b;tau)（若 universality正确）。比较：这是真正的跨格点 topological equation-of-state test：所有 thermal reparameterisation 都已被 b 消掉。
第二层再比较需要 metric 的量：
为什么它能区分 square-site 的 M'' 解释
triangular self-matching 使
g_2=Delta Var(K)=0at z=0 exactly。因此：g2~L^(3/4)主要来自 microscopic thermal-coordinate curvature / matching asymmetry，这是合理；这比只看 square-site 两个 slope 更有判别力。
外部理论优先级
区分 theorem / extension / universality conjecture。
Stop rules
交付
相关：draft #773, #775, #770, #768。