目标
把现有 threshold-rank / monotone insertion 资产从两个一维 readout 提升为真正的两次拓扑 birth 过程。不新增 Monte Carlo。
对一个随机 site permutation，定义
J1 = first insertion count with r>=1,
J2 = first insertion count with r=2,
D = J2-J1 >= 0.
在 iid Uniform[0,1] site labels 的连续 coupling 中，相应 birth times T1<=T2 满足 rank process
P0(p)=P(T1>p),
P1(p)=P(T1<=p<T2),
P2(p)=P(T2<=p).
Draft PR #773 已证明/记录：
E D = sum_k C[rank1,k]/binom(N,k),
T2-T1 | D=d ~ Beta(d,N+1-d),
P(D=0) = N int_0^1 P_p(Delta_0 X=2) dp.
因此静态 rank-sector polynomial 给 E D，但 full gap law需要 paired (J1,J2) 或等价的两时间信息。
Phase A — archive audit, no new sampling
优先检查现有 threshold-rank raw assets（#595/#621 所引用的归档、P205 lineage 等）是否保存每个样本的 paired (K_plus,K_minus) / (J1,J2)，而不是只有分开的 histogram 或 batch summaries。
给明确 verdict：
PAIRED_RECOVERABLE
MARGINAL_ONLY
MISSING_RAW
若 paired raw 不在 tree 但在已有 artifact/branch，记录精确路径/hash；不要重跑生产来补。
Phase B — exact process statistics if paired data exist
对每个可用 geometry/block 计算：
histogram of D=J2-J1,
P(D=0),
E D, Var D,
quantiles of D,
Corr(J1,J2),
conditional E[D|J1] and E[D|midpoint bin].
控制：E D 必须与静态 rank-one occupancy polynomial/histogram的
sum_k P(rank=1 | exactly k occupied)
一致（在相同 ensemble/convention 下）。
Phase C — continuous birth-gap law without resampling
由 Dirichlet spacings，条件于 D=d：
(d=0 为0原子)。因此用离散 D histogram 精确构造 raw-p gap mixture，报告其 CDF/moments。不要用 Gaussian approximation 代替这个 exact mixture。
若 full paired (J1,J2) 可用，再用 #773 的 canonical odd coordinate
b(p)=1/2 log[P0(p)/P2(p)]
构造
B1=b(T1), B2=b(T2), G_b=B1-B2.
G_b 是 thermal-reparameterization invariant 的 persistence gap。其均值也有一维 exact check：
Phase D — 6-arm / 8-arm process diagnostic
D=0 等价于一次 insertion 让 rank 从0直接跳2。#773 的 L=3,4 controls 已发现 jump2 中 theta/T3 spine 很常见；#768/#769 正在判断其 6-arm/8-arm continuum semantics。
若 per-site jump2 critical probability由 j-arm 控制，critical window 宽 L^-3/4 给
P(D=0) ~ L^(5/4-alpha_j).
所以候选：
6-arm: alpha6=35/12 -> P(D=0) ~ L^-5/3,
8-arm: alpha8=21/4 -> P(D=0) ~ L^-4.
现有 production sizes若有 paired data，只允许 compatibility/incompatibility screen，不把 fit 升格成 exponent measurement。
关键解释：即使 P(D=0) 显示 6-arm，finite balance-root shift仍可能是 L^-4；那将直接证明“6-arm absolute geometry exists but cancels in the matching-odd one-point projection”。
Phase E — two-time persistence kernel
若 paired data足够，构造 canonical interval coverage kernel
H(u,v)=P(B2<u<v<=B1), u<v.
它满足
E[(B1-B2)^k]
= k(k-1) int_{u<v}(v-u)^(k-2) H(u,v) du dv, k>=2.
这是 one-time rank curve之外的第一个真正 process-level universal target。
Exact controls
从 #773 小尺寸 rank polynomials：
square L3: E D = 3/2
square L4: E D = 14122/6435 = 2.19456099456...
triangular L3: E D = 3/2
triangular L4: E D = 991/455 = 2.17802197802...
E D/L^(5/4) 分别约 0.37992, 0.38795, 0.37992, 0.38502；只作 reproduction controls，不作两尺寸 universality claim。
Stop rules
交付
notes/two-birth-persistence-copula-YYYYMMDD.md
results/.../birth-copula.json
相关：draft #773, #768, #769, #775, #595/#621 archive lineage。
目标
把现有 threshold-rank / monotone insertion 资产从两个一维 readout 提升为真正的两次拓扑 birth 过程。不新增 Monte Carlo。
对一个随机 site permutation，定义
在 iid Uniform[0,1] site labels 的连续 coupling 中，相应 birth times
T1<=T2满足 rank processDraft PR #773 已证明/记录：
因此静态 rank-sector polynomial 给
E D，但 full gap law需要 paired(J1,J2)或等价的两时间信息。Phase A — archive audit, no new sampling
优先检查现有 threshold-rank raw assets（#595/#621 所引用的归档、P205 lineage 等）是否保存每个样本的 paired
(K_plus,K_minus)/(J1,J2)，而不是只有分开的 histogram 或 batch summaries。给明确 verdict：
若 paired raw 不在 tree 但在已有 artifact/branch，记录精确路径/hash；不要重跑生产来补。
Phase B — exact process statistics if paired data exist
对每个可用 geometry/block 计算：
控制：
E D必须与静态 rank-one occupancy polynomial/histogram的一致（在相同 ensemble/convention 下）。
Phase C — continuous birth-gap law without resampling
由 Dirichlet spacings，条件于
D=d：(
d=0为0原子)。因此用离散 D histogram 精确构造 raw-p gap mixture，报告其 CDF/moments。不要用 Gaussian approximation 代替这个 exact mixture。若 full paired
(J1,J2)可用，再用 #773 的 canonical odd coordinate构造
G_b是 thermal-reparameterization invariant 的 persistence gap。其均值也有一维 exact check：Phase D — 6-arm / 8-arm process diagnostic
D=0等价于一次 insertion 让 rank 从0直接跳2。#773 的 L=3,4 controls 已发现 jump2 中 theta/T3 spine 很常见；#768/#769 正在判断其 6-arm/8-arm continuum semantics。若 per-site jump2 critical probability由 j-arm 控制，critical window 宽
L^-3/4给所以候选：
现有 production sizes若有 paired data，只允许 compatibility/incompatibility screen，不把 fit 升格成 exponent measurement。
关键解释：即使
P(D=0)显示 6-arm，finite balance-root shift仍可能是 L^-4；那将直接证明“6-arm absolute geometry exists but cancels in the matching-odd one-point projection”。Phase E — two-time persistence kernel
若 paired data足够，构造 canonical interval coverage kernel
它满足
这是 one-time rank curve之外的第一个真正 process-level universal target。
Exact controls
从 #773 小尺寸 rank polynomials：
E D/L^(5/4)分别约 0.37992, 0.38795, 0.37992, 0.38502；只作 reproduction controls，不作两尺寸 universality claim。Stop rules
交付
相关：draft #773, #768, #769, #775, #595/#621 archive lineage。