[组合/过程] rank-one shell flag enumerator：从静态 C[j,k] 到 persistence moments 的最小多时间扩展

[LightChainr]

动机

#778 已经明确：一维 rank-sector marginals C[j,k] 不决定 (J1,J2) copula。Round-8 exact control进一步发现，static marginals只缺 jump-two one-step flux B_k 才能恢复完整 one-step rank transition，但仍不能恢复 D=J2-J1 的高阶矩。

这里提出一个比“保存所有 permutation trajectory”更经济的 exact object：rank-one shell 的 flag enumerator。

定义

R_k = homology rank after k insertions,
D = J2-J1 = # {k : R_k=1}.

对 k<l，随机 permutation 满足

P(R_k=1,R_l=1)
 = F_2(k,l) / [binom(N,l) binom(l,k)],

其中

F_2(k,l)=# {(S,T): S subset T, |S|=k, |T|=l,
                   r(S)=r(T)=1}.

于是

E[D(D-1)] = 2 sum_{k<l} P(R_k=1,R_l=1).

更一般，长度-m nested chain counts

F_m(k1,...,km)
 = # {S1 subset ... subset Sm: r(Sa)=1 for all a}

决定 E[(D)_m]。

目标

1. 把上述 flag-count identities写成 exact theorem；
2. 在 square/triangular L=3 做 full enumeration / dynamic-program control；
3. 判断是否存在一个 transfer/poset DP，能在不枚举所有 N! permutations 的情况下对 L=4,5 给 F_2 或 D 前四阶矩；
4. 与 [现有数据/过程级] two-birth persistence copula：恢复 (J1,J2)、canonical gap 与 simultaneous-rank birth 原子 #778 paired-raw 结果交叉。

与 simplicial complexes 的关系

令

Delta0={S:r(S)=0},
Delta1={S:r(S)<=1}.

rank-one states组成 shell Delta1 \ Delta0。F_m 是这层 shell 在 Boolean lattice 中的 flag f-vector/chain enumerator。不要误称 shell 本身为 simplicial complex。

关键输出

E D,
Var D,
E[(D)_3], E[(D)_4],
flag tables F_2(k,l),
comparison to paired permutation histogram when available.

如果 F_2 已足以给 process-level universal quantity，例如 canonical gap variance的离散前体，请单独报告。

Stop rules

• 不从 marginals 伪造 higher chain counts；
• 不默认 rank process Markov；
• 不用 N! permutation full scan扩到不可控尺寸；
• L=3/4 controls不是 scaling exponent measurement。

相关：draft #773, #778, #769/#775。