[组合拓扑/算法] rank-configuration complexes 的 Alexander duality、Betti tables 与 certificate duality

[LightChainr]

Exact theorem

定义配置复形

Delta0^G={S:r_G(S)=0},
Delta1^G={S:r_G(S)<=1}.

由配置级 matching/digital-Alexander identity

r_G(S)+r_Ghat(V\S)=2

以及 simplicial Alexander dual

Delta^*={T:V\T notin Delta}

立即得到

(Delta0^G)^* = Delta1^Ghat,
(Delta1^G)^* = Delta0^Ghat.

这比 rank-sector coefficient reciprocity更强：它配对整个 face poset。

已完成 tiny control

L=3 exact F2 homology：

square NN primal

Delta0: beta0=1,beta3=1,beta4=6
Delta1: beta0=1,beta4=1,beta5=2

square matching 8-neighbour dual

Delta0: beta0=1,beta1=2,beta2=1
Delta1: beta0=1,beta2=6,beta3=1

higher Betti按 i <-> N-i-3 精确配对。

triangular self-matching L=3：

Delta0: beta0=1,beta2=4,beta3=2
Delta1: beta0=1,beta3=2,beta4=4.

结构后果

• minimal nonfaces of Delta0 = inclusion-minimal nonzero-winding witnesses；
• complements = facets of dual Delta1；
• minimal nonfaces of Delta1 = minimal rank2 witnesses；
• complements = facets of dual Delta0；
• direct 0->2 insertion = upward boundaries partial+Delta0 ∩ partial+Delta1。

face polynomial identity

F_(Delta^*)(z)=(1+z)^N-z^N F_Delta(1/z)

直接恢复 rank-sector reciprocal polynomial。

目标

1. 独立证明/整理 note；
2. L=3/4 Betti/minimal-nonface controls；
3. 判断 dual certificate 是否能加速 [P1｜当前L5封口] pivotal-pair原始联合表；不追加L6或新描述符 #769 direct-birth classification / [P1｜完成当前最小产物后停] rank-sector原始系数：取消L5–8自动阶梯 #775 rank-sector transfer；
4. 探索 shellability/Cohen-Macaulay 仅作为数学问题，不预设成立；
5. 将 [组合/过程] rank-one shell flag enumerator：从静态 C[j,k] 到 persistence moments 的最小多时间扩展 #786 rank-one shell flag enumerator置于该 dual pair中。

边界

这些 Betti 是configuration-space complex 的拓扑，不是物理 cluster Betti，也不是 critical exponent。

相关：draft #773, #769, #775, #786。